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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >0a( \< Q  
L^M]l <  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. YXbh Bu%s  
Q0%j)  
　　1、三角函数本质： ieP 5%O  
_:bt   
　　三角函数的本质来源于定义 n(Ny dS$  
o`T3p k  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 +0=Te#t_k  
dPC' ;K${  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &E-!fjJ  
QUmG%OHF|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 4~?{  jC  
R<foThTPCE  
　　推导： l-5 =+#G  
dAou\!   
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 R3xI!<S8  
e_;_}<(+  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) jI_`_0K#U  
'ZYK>An^5$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8e9*%4l`n3  
~C\T]g)9I  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 L"7gHS{z  
g/~ YD@R  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） OP@%^/@  
[s4/&9(rOe  
　　[1] uwHF5  
[~% 7.L  
　　两角和公式 $E+ O d N  
4hQK6 FR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB M6*  P1  
P^j9S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  H\gQRa k  
2j'^{DQ^  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k/\kETHN  
kOlr6Gxj  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB A:/!>  
. LvPp  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \`>NbzOal  
uW%b ]LXa  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) "1dli;  
,bQbRC>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~-y@&YZ"=  
gZ2D3m=9k  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) jl 5^6[r@  
wE_kRGWx  
倍角公式 -a_Aw%?mC  
mxF$?N  
　　Sin2A=2SinA•CosA mDkxq]qw  
w|fXB0"W y  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 jpd)<JM./  
zuRs_;+x`C  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 9@'b`<*Pl  
fwd}pFB4d  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ,Q [/j@z  
GWZ,-2x6B  
三倍角公式 (Q?tEG4;r  
x<ei/V ^  
　　 ;2MQn:yF  
Sm2Zs  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) :[6'drB2>  
rPsnw '  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) sDVC};2f  
D13r:\4^  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) rja2d h  
hTf$'Lv>B  
三倍角公式推导 ZUp1ne|/|  
bEN-gmBA  
　　sin3a p( HZu]nb\  
K;s1cIb2(J  
　　=sin(2a+a) S2'3FPh  
4cP dO.@k  
　　=sin2acosa+cos2asina xk`hDze!  
VlX>z<Qy/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina BhGL=  
{Uyd4",  
　　=3sina-4sin³a + j_iZ38s  
w_M9.=  
　　cos3a aK`1si:bw  
>5|b|E;  
　　=cos(2a+a) kDtbVMd  
e & "If\  
　　=cos2acosa-sin2asina #PBZ  
R>;*K7Z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Xm4 U  
ab{ DV-  
　　=4cos³a-3cosa (vH/AN0  
HD%QaA  
　　sin3a=3sina-4sin³a %"} _j!V  
n|GO^2 Q  
　　=4sina(3/4-sin²a) k ou0t7  
q %>Q!X0?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] A<y$p]9$  
$# VsLD_2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) U60>O!B  
l^R GDr LX  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) sja&}!Ve  
* i:5p)%J  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] j 8PR.|GX  
yx" U)}__  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) >:8]C$8?3  
SRo|#'`."y  
　　cos3a=4cos³a-3cosa #zic{*  
Vk\3s9:.`  
　　=4cosa(cos²a-3/4) L.7  
N5wN8y>ur  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ) 1JZ=M<+o  
,Bp802$  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Zm#8pO[1  
O#I#so7T  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0 DW< Xs  
r< cHR]4  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 'DI<d   
%V&lg.Fb..  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) gFu P"S  
xz*q  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 84*cTu5Mb  
ZPQF'od7  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 7lJ& 6#_  
Pdx5Gcj  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) #MJW9tJaJ  
T<SF6L;3  
　　上述两式相比可得 A-vG-]"89L  
f@NT|0N%N  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?5-B6v!L  
a+4 IwcS  
半角公式 %4@I&BV  
CRsVeM6  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); GcW$v2 {  
?U! 8"F  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <9Cd]bPr  
L&*S/<$  
和差化积 50j^:]_/-  
XJ7gLD?L  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ue Rg[un  
*m,yjn  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :!UUbwJ  
;.~tml  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ) j%Hb`  
0:,P]\v  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7Wwy@:yyH[  
5EM]Tu`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) VW3&tPQ?  
B-RE T[ fl  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }TK{o@TA  
1z%0',  
积化和差 9XM~<e"6A  
M44G]^  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Rz(:lh(6*  
9!n`wdl  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] O<ZM~Va|%E  
S1{nAYON  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ES:.~M:iX  
\"^"1zopJ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] /];QYX aF  
"&=Jv8ya  
诱导公式 +]+g-L8  
Ir/h#  
　　sin(-α) = -sinα V} s?>U}P  
f`^S]gA2  
　　cos(-α) = cosα 1P]fH v  
lA[x%yQ )  
　　sin(π/2-α) = cosα Ws 8nN$6B  
/;cdn,q  
　　cos(π/2-α) = sinα y$k,UD.63  
,c=(n7Rgv  
　　sin(π/2+α) = cosα @"]Cq '1  
F#oo |tpo  
　　cos(π/2+α) = -sinα p:uhe\  
OOZ=VEa)B  
　　sin(π-α) = sinα gt{M'4  
!4^({  
　　cos(π-α) = -cosα hW{-4A<MZw  
h q\WX  
　　sin(π+α) = -sinα XbSVe(''g  
\Lzq0x{38  
　　cos(π+α) = -cosα ! nX?8"=&  
3Ruk?W=  
　　tanA= sinA/cosA 0~<Bxu  
Axh~rC21I  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7KQ9q2[#  
WGV]')E5  
　　tan（π/2－α）＝cotα D]Ny3dR  
oT?Smgq6  
　　tan（π－α）＝－tanα ha Py{E  
4^\WQb1f v  
　　tan（π＋α）＝tanα O=cv|%C  
1^Z@Fu=%#  
万能公式 q1+&PUJ  
!e4\4I|  
　　 QS V@281^  
+< k7"+  
其它公式 ZG."Sa]i}  
%lET[  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 :cL |Wa @  
(^4[ ~=&  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 2_*ad5I8f  
d{&`7'N  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 OC@H>-#  
^IP?c (l  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 t,A$ug-qf  
&[*c6QN  
　　对于任意非直角三角形,总有 R]/oy+|<  
*))UHT  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Rm(*#6  
4ogU}>ky3  
　　证: _!m]LIPKf  
]v== I?*  
　　A+B=π-C xae_v a6  
yf8"){"  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ]@Ii1r<  
E! ^ Vy8k^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ?YBi0k_M  
p+F)WLea  
　　整理可得 Xkp588vW  
E_/sGy_>F  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1/e$O1-o{  
J,YHCFr0?M  
　　得证 j E^<fH  
:Cy  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 }Bvo?IS  
lwL.Cp+  
其他非重点三角函数 Pfr/!t  
,(M|/t5  
　　csc(a) = 1/sin(a) @*y/Dh  
mrqOs7s~3  
　　sec(a) = 1/cos(a) Y31<i,>  
*Wx`eW|  
　　 gXz[>g@ V  
i-oa4Lw(  
双曲函数 Gnu.%h7  
'tN=Y4|c<a  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 sGs20xHO1n  
W}L7-KM  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6IPVG7d -  
.^D)qZX  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) EBv,ufN  
6S~@Em_^  
　　公式一：  !r:I  
F)5W!PR  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !7D}{l  
.%?O6nT  
　　sin（2kπ＋α）= sinα {{| %w )  
AgU+Vdv  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ds!G[,  
):Vv0O'g  
　　tan（kπ＋α）= tanα S\tpO(,bg  
GE- _q!  
　　cot（kπ＋α）= cotα k ]h~2$  
0iZ!~@  
　　公式二： i\@Dm~/ B  
} "4xS~=q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： gc:r-#/  
DM2k&^0kcu  
　　sin（π＋α）= -sinα M~ ?uq<S  
<r @G1UQS  
　　cos（π＋α）= -cosα V$y1eQ  
`1HCJiV  
　　tan（π＋α）= tanα F{ujxt`  
GX*(" H4  
　　cot（π＋α）= cotα rS'0|sIcz  
P*QQQG0WF  
　　公式三： 0*U5f0  
.dBJ!-t>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }7B=<uK4  
s@\mh=b#  
　　sin（-α）= -sinα &U3G B0al  
1jtP0R  
　　cos（-α）= cosα ]g#|<vL7  
UZmN-  
　　tan（-α）= -tanα ZL$]  
QTY"X  
　　cot（-α）= -cotα Rs7#/bX  
TdM*)>#k  
　　公式四： O$Nu*hzm~  
2#8@,I]Tr/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： IF 5'l[;g  
H Vb8]D  
　　sin（π-α）= sinα Dl:DsV6  
q, 0g4#  
　　cos（π-α）= -cosα 75l]-u  
pHr"*v&  
　　tan（π-α）= -tanα pp [/F_  
6Ch*h P}]  
　　cot（π-α）= -cotα g!s>@l   
X"xJ oD  
　　公式五： ,:=jD#  
c* /B `xo  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `JU"6<c+%  
DWjPq>~ZG  
　　sin（2π-α）= -sinα A>iW.J8S  
LHePZM|3  
　　cos（2π-α）= cosα cKo4Uh =F  
19d.I\c6P  
　　tan（2π-α）= -tanα Fo-SG!3pR  
"wS3!d   
　　cot（2π-α）= -cotα UM$'[3E'  
/GO3&o%  
　　公式六： fs\Z7sh =  
qi+|~_?J  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： l5e"0W1?/  
wOmzDQg  
　　sin（π/2+α）= cosα Sw)[$`  
6R;*kHc1x  
　　cos（π/2+α）= -sinα "SgO[j N*  
psRFXqX  
　　tan（π/2+α）= -cotα 2< UaKjI  
6h"KT}EN_  
　　cot（π/2+α）= -tanα  f8AuhV  
<0efTkZ P2  
　　sin（π/2-α）= cosα I!3B #r  
}l^aP#_&  
　　cos（π/2-α）= sinα [Mu ^=\(D  
4#E pX'D7  
　　tan（π/2-α）= cotα _ ]6l$3\@  
nbc\|;V  
　　cot（π/2-α）= tanα 5TA(@.N  
w\[glm7  
　　sin（3π/2+α）= -cosα y(>d,}lTa  
(+;(a.V&GD  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,)QDcq>YA  
8AWgW}  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ($o~ kw  
_d~u!Z|s  
　　cot（3π/2+α）= -tanα F _nm G9(+  
kbMY5AW?0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ui6dts|;  
aBjI}XO@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :`xY#soOa  
^Ag39=17\  
　　tan（3π/2-α）= cotα h],#6$  
dDI$'7?T  
　　cot（3π/2-α）= tanα WB[&Cr  
S#m8_  
　　(以上k∈Z) b ]  
^-s%o7  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 *1r9rc%aW  
5_EZ{5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :}13lt  
&k7r{^&"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [fbqm<  
q u/0P,I  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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