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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 F]X  \  
"I@ x-   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. xww2nk1lep  
6>asC40<  
　　1、三角函数本质： *h"pL879  
wCf <3  
　　三角函数的本质来源于定义 9))]}a @  
&1Z vt5.Gw  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 e5rnON  
{m]?~3G  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ZQdr&]V;KA  
ma:U] N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Q_JW6qy`  
uQ4e2 %G$  
　　推导： .thUSWg  
:okgyU[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 #{{&E082>  
"M2x;{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Lv:V+ |  
EO9 Aq _J  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8e{J eN:`  
|KbB%l:,9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [ E>{AYD  
t!2^8HIl  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） UT <J' , q  
8 #RCj>U  
　　[1] U]:lk9D  
bWV~1]N`  
　　两角和公式 2~u0f9n  
a m45@q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB R:,oOuzv1a  
ZnU:o ~<d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  dTGt/k-:PS  
D Ehh  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB S .&l2YD "  
[>{QAPaNm  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB R+S0((|o  
ljfK00Ls^  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Y rY 2  
Z$c0>Id  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) n >3GZ!{  
rJ$+.BS]6%  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -:L!JIk  
e9{RV/ eR  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) f728Ux^g  
E"AhUvi (  
倍角公式 ^[z]7&O<r  
*?fFsw 2k  
　　Sin2A=2SinA•CosA U#Q{NWa6  
gM7-!/>>K  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,7vGgp  
z'CEBPW  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4[.  
>m:Jjp,<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） )_DwCK$  
;Ed{u}AH  
三倍角公式 ]51h2z&  
4SM<=z  
　　 zR!2 x+" A  
jW{]QiO|  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) %K _)v  
B[f&klf  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1^t}Wrp  
@JA A= s  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 'o/:i:XX  
d.DU,{>  
三倍角公式推导 "#u|mWs2C  
j7]|2Zhi1  
　　sin3a AL|d6^cD  
cD-O^|`!  
　　=sin(2a+a) ,c\rk  
j pmQj  
　　=sin2acosa+cos2asina &6nB6 vM  
RW(/cfOX  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `1v-svdL  
LA{i ~  
　　=3sina-4sin³a lP79lAci  
UXoC"t l  
　　cos3a 0#JUZ }KDP  
gX g8olF  
　　=cos(2a+a) d#jbhkwV  
m(r-@{5  
　　=cos2acosa-sin2asina }HTc4@U  
*YwQDMo  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa F:]C2Q  
*~CHs=?5  
　　=4cos³a-3cosa ;o%mtZq  
;U3W>S_m  
　　sin3a=3sina-4sin³a iHSp+Noc  
kJ]p)0AB  
　　=4sina(3/4-sin²a) D,ky%L  
SF(;)~~0+  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @-pa&'6  
QjEj-zX:  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Z>oW @9  
eJy#}  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) w<tA-Yt  
vkm/N?&#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] SwnrnwT`  
|0',vBxd  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) (9&P,;  
+R O!B5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa mu h~<3  
?M#!Nc 4J  
　　=4cosa(cos²a-3/4) CzV  d*~  
(t+(zyE  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] `Vk?s@Ld  
__PSt1;  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) M(9Dz5VH  
}L*(}E9W&  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) E:^vN:3lj  
gvCfOVa  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3!L"9ZP]  
DB`YswD  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {]<Z&l<k  
kp YAb/L  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] $}kTu0b  
]C/20V  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] x-^"N1  
f~~)cOrk  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) && O]|G<  
=5`EKaA2?  
　　上述两式相比可得 J r&]oI  
'b m}e*|  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) MP#e'Lj  
;5 }M.S  
半角公式 ,V* ]m@1`  
}|bVkbs  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ? p qcmg  
+ v+Aoi  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 2Fj %%Fly  
Yz11`ZSW  
和差化积 UI)&F,k&  
M[6lvyo  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Sh;n[fR@  
/{oqOvP  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] a(8[\5X1  
;v[LI5r  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j}F5WGq  
/m6R@ B|&|  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [CQr.t  
X|".r   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6ym2$_aQ  
:UO$LOO7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Vpm_1~]+z  
l6}P,  
积化和差 2a :7<  
A`<FE$!w3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 6n  
Z U|eH\fy  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +< oYh\4_\  
/8%De-+K  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] m UShm*  
o3Y<*+4  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] GrO?-toa=  
{b@V2mV ]  
诱导公式 {FG{ *t  
4*oZ? -r  
　　sin(-α) = -sinα ^g;JYs,l  
|0)2) U  
　　cos(-α) = cosα NM|r){  
p;^CEH  
　　sin(π/2-α) = cosα }xkn<Q^  
6TDNuihp  
　　cos(π/2-α) = sinα 'DFXAYp,ME  
ufp@XJx  
　　sin(π/2+α) = cosα VRlY+iwP  
,[NQ I  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?#r54?Ooy  
w MxDAO  
　　sin(π-α) = sinα mDKY*hf  
=;bbK[EnG  
　　cos(π-α) = -cosα x$:Uel-  
"j'T_  
　　sin(π+α) = -sinα hd>(T6<BC  
*v} vv0`  
　　cos(π+α) = -cosα {{a5:&3w  
.>'Ew2X9  
　　tanA= sinA/cosA ; [\@)`  
FAbH|w1Cb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα A< %7zV  
) S)p^  
　　tan（π/2－α）＝cotα |aW y\\g`  
Ahp>uD  
　　tan（π－α）＝－tanα {,Q_+  
mB?pZ#N  
　　tan（π＋α）＝tanα -[MC SNPN  
QQ5R`IA3u  
万能公式 <TM0[Z/8  
TM`JW#pu  
　　 1m2O_9.+K  
 s%bEc  
其它公式 U:rgh>$m v  
]bY6Qo  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /%qo}eC[  
 A NR|a2  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `aNR@0g`N\  
7h'BIZ@[  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _iw(1Uh  
H+L^Mx:#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ml5L)0zn  
2lF`>N@  
　　对于任意非直角三角形,总有 &$ygAlgD  
(QFQ^vY:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XF&1W9VyJ  
W4mYLA"#  
　　证: :}{q]Q 4  
zKcQ}4{  
　　A+B=π-C Z%~;lk_vI  
[4(Y@1Ck  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Knp$k%@n)  
W~P[#:rv  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Z"&$Eo  
W{IE- $N  
　　整理可得 Qc3af`Y;  
xz9G6/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [UzBPE  
VY HXD6  
　　得证 l0QCsp [/}  
i46 C'2(r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 KOaz!jXcA^  
$ 5%Q73P  
其他非重点三角函数 ]&p0XJ>*/r  
YlI.'lY?  
　　csc(a) = 1/sin(a) 9V8u:+OQH>  
]\uu<-_v  
　　sec(a) = 1/cos(a) #HZ-?kr3my  
v/pgDjt  
　　 |YGVS<e7iW  
>~Mpf) g  
双曲函数 +5/\#PV  
y~FI{CHJ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 /J6t k{ij  
tP$To)kY 3  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5<7+tjA>'  
"`<Xe ,L[  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) S2YqF&o  
C~k1K)tvmS  
　　公式一： A(,s~S}[<  
:KF YQ  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： vr7{f* p  
6_Am o  
　　sin（2kπ＋α）= sinα d7W X N6  
C^y:-?  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Du nf;  
[2z$BQ|M1-  
　　tan（kπ＋α）= tanα za0mt~a1  
zilKXv  
　　cot（kπ＋α）= cotα 2tB-rqz>  
p 4@FQ  
　　公式二： I2Zwe\  
3u@|,Axx`Y  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 4\Q LmJ3  
m;.T.].6#  
　　sin（π＋α）= -sinα 7_J@} Q  
"3(!jq  
　　cos（π＋α）= -cosα Z,%ndFDR  
;9P&wJ*Z  
　　tan（π＋α）= tanα $3CYWQ?r  
=DPYB]C%7  
　　cot（π＋α）= cotα }xe#i  
i{ !:w4s>  
　　公式三： ab}}eD  
|V^;9\(#Oy  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： woU'+HH{fH  
i^VW(H11  
　　sin（-α）= -sinα c?47= f  
-b-o8j8  
　　cos（-α）= cosα /|Sh8R  
h_.$huq>{  
　　tan（-α）= -tanα tzL)zs  
t, lY&1*  
　　cot（-α）= -cotα k w)y+Y  
53[2z1ES  
　　公式四： ?Uo xO<f  
z[*y3C`5  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Y1J#rU![3  
r,AxzM  
　　sin（π-α）= sinα 1FSUSi  
]<"aUp6u`  
　　cos（π-α）= -cosα 3V `B:Jd  
J?F))G(M  
　　tan（π-α）= -tanα X- vV:  
0Sut_2?  
　　cot（π-α）= -cotα \P6(O-0  
x#6 O:v  
　　公式五： K~<0ku.*[  
]$1|   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： gHz72/`:P  
ijcsZ$M}q  
　　sin（2π-α）= -sinα /4NSE$4d~  
K:o)(T|+1  
　　cos（2π-α）= cosα q fnUte/  
@yh*y'8c  
　　tan（2π-α）= -tanα zxV0o|{M7  
ABmuG;3  
　　cot（2π-α）= -cotα M UR|w`W  
4g6(G9l9  
　　公式六： CvSU;E4*_  
-[{?W@hv  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *a+ohh>  
 !'~:y  
　　sin（π/2+α）= cosα .I]LS^gh`  
EmB ?8  
　　cos（π/2+α）= -sinα n]d T3hqH  
'n:vc<F  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6'L?%dY  
bu{rb'hq  
　　cot（π/2+α）= -tanα NpiW2.+  
4r|c7k19o  
　　sin（π/2-α）= cosα R(m*MX}E@  
g7rvmFn~  
　　cos（π/2-α）= sinα U--%vBt8  
Z-jyR"Qc  
　　tan（π/2-α）= cotα C'|]x1  
s `@9[5)  
　　cot（π/2-α）= tanα MbY|\)9z  
Gr~UH%A$&,  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,s<eD:  
1O5>~[  
　　cos（3π/2+α）= sinα ?v}a j0Q  
\B6Y:b%-  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #@um b"=r  
jL&$Y'  
　　cot（3π/2+α）= -tanα uSY3/P:  
:h72@%/W$]  
　　sin（3π/2-α）= -cosα yviaV+a  
ksI?KW]a-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα k (i, Q  
|oOr/_*NB#  
　　tan（3π/2-α）= cotα G37D('q  
w1JPWRJ^  
　　cot（3π/2-α）= tanα \ >:ni=q  
g<} br74{  
　　(以上k∈Z) 2KXcDyV%  
i9SR<C/Zg  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 : `b8};r  
C*0(bys  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5% h|osW  
ci.fQ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +UD{  
 AGe{7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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