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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 { K]D  
:_x_'#QI  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 'D \9`EA  
v;x:Vf;!]  
　　1、三角函数本质： 8zjv|-h7  
#s S_?  
　　三角函数的本质来源于定义 aaaI@ckt  
5"bMSy ^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Obsn{WK1V  
H}0:'{Q;do  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 qzd ;2p0  
9s=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： &F=Hf/BqS  
x0 ]4ky  
　　推导： dwhdY1e2VJ  
Pr}9~D_|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 _GM *){E  
viw Z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  TF7w8  
+?K\po5k  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) M` fvT  
"/F85 ]3  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 d#cX<1-  
Ie / 4/Cu  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） x}J%m/H3C"  
" 7hJ )Z  
　　[1]  w mG-&b  
 )Q#/U#  
　　两角和公式 ldwa9  
/}}-M}Z~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }A{sG:  
/TQ~`QL<  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  "xNiX;_.4  
t{8AN2Jfb  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB U d{^")  
!`54I  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 3Y-UQ\  
nzx/V' Q  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ^JpCYC  
a?<6~%cW  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {EfGe5Tj  
ZB"F2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  .6dd+9c  
#z/pDuo(l  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %a: -1uq  
WD><O  
倍角公式 5fL"( ZK  
xEN|`GsG  
　　Sin2A=2SinA•CosA v?=# m<n  
Ij>*Br  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 KnBrp%#3e  
NQTT;hR6B[  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） mZ)yYiY  
RF^fj:!   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） |R3#z =f  
3%)' bQg  
三倍角公式 dqE"Q S,&  
`i\j)$^_z  
　　 mm`+.JM  
A4 ApT$j  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) O0xFM-m;I  
M-IRa&b  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) RcVe"~ "m7  
u. ;,XrN3  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) YZ.\`^7  
Y88Mx)A  
三倍角公式推导 0v?GfQj6P  
s${6g|i  
　　sin3a k='^,$}k3N  
@kX`9fj  
　　=sin(2a+a) 0%[P;x  
\ <ps: Y  
　　=sin2acosa+cos2asina  YQ,Sy13  
+t;)C{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina _p p<]i0r  
=>sDYctn  
　　=3sina-4sin³a gx$b:/"#  
i riQYWB  
　　cos3a ]nCY)Ij"<  
*LA|.*8  
　　=cos(2a+a) uwBg{-M[  
8+oq!&h  
　　=cos2acosa-sin2asina ag.UF-30  
\'2wndb9  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 5/|xT4M^  
sFPm&() V  
　　=4cos³a-3cosa V>=_`lPwl  
.!8rKl  
　　sin3a=3sina-4sin³a 4,*DR4n5J  
?u 0,N*Gb  
　　=4sina(3/4-sin²a) F4KgL  
@uUkL a@_  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] %*v 7z  
fL!d&}]0  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) mk4So2~0  
2iAT/'(F*D  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) `RzwV+  
4}p=sr  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Z'0{d3  
e +H<$ q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) SZlAalV-  
3s2gHXfB)  
　　cos3a=4cos³a-3cosa s@OF ];v(  
Y,x02LVU  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Z7 HC&n  
7!Nx.CtJl  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] k+J3WbyfY  
[k93"-Vx{B  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) u[Mw;1,x  
RCwf{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) H&HGIu>7  
&BW.QiUv3=  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} (FLL& 4i3  
XmuKV:  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) RIUd5~  
`ZbkF Xk:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] #+(.&6a4c  
UEVEXj?   
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] D>(A   
?l( _;`</  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) L|(HPD=~@  
vm% CVC+  
　　上述两式相比可得 E=0o*Q-eR(  
J,bj* r [  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  } PwQGw  
&60G0m]]o  
半角公式 ;_\)< i  
ii&JVSz  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -`+LL6  
;@Hp|"xU  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. |x^P-a7m  
j|.PswOw  
和差化积 @) YHMaC  
}5#F a*@D  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] J49ptDoA b  
1_/2hHB0>C  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] e p2P(<  
l#m'2MD2[  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ja@t(Tw  
M64=K[2*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -U/,1q  
-<OW?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) K6`8cX)t  
3rM@?K  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) cbG0-D)U6<  
iqH.DDPun  
积化和差 ssL9q%2p_a  
T:J"}U  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~PeK}X`9D  
c9ks]+l  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] b;JmOtj  
K F 4H  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Lm)C Z  
" 3^*P  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] B05hxo9  
r}D/qg`.*  
诱导公式 Cv/~w TP  
Cr5t>  
　　sin(-α) = -sinα Y;'`4%E#  
P{ 9~"e0D  
　　cos(-α) = cosα =s@kJIl  
o]mgX3KZ  
　　sin(π/2-α) = cosα %NQM 3^  
:: 0N5U  
　　cos(π/2-α) = sinα sVlyJ<  
h /pM  
　　sin(π/2+α) = cosα ;MS?sE3$g  
ETI lr%{S"  
　　cos(π/2+α) = -sinα #'vL +kJ  
jKk@c-NRAR  
　　sin(π-α) = sinα *VT$NI58  
34s}'Yy  
　　cos(π-α) = -cosα "4O<!9  
) D2m=d!  
　　sin(π+α) = -sinα 9WB&d.vI,  
cXu%P0  
　　cos(π+α) = -cosα FkUhewX  
+y%+4{3  
　　tanA= sinA/cosA ~xw9%   
o_5/IKAR*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα  PzY. "  
~ <A}[ =  
　　tan（π/2－α）＝cotα d 2NyeVGn  
u YeVit  
　　tan（π－α）＝－tanα f%sF`m  
o:vvI1D  
　　tan（π＋α）＝tanα s_:iRZ  
,&L;y<RW`h  
万能公式 bDDJ(R"1  
_4#K_@aL  
　　 H~Mw-{q  
0.Z%d7.>  
其它公式  >Vx9mv>  
P\<NGP;a  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 6)kl~MH7Ad  
M-j1&y%G{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )"Ti/0]  
LMaENh5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 BUT`([Hff  
*bWHMl  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 3,9&kJ-B#  
x TVlX8b6  
　　对于任意非直角三角形,总有 :T77,Rt  
&iHeY7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .BSJ^5hKz8  
c3pV7nz^{&  
　　证: $TKz q<?  
;N.@  
　　A+B=π-C "N],kVWQ  
IA |8;n  
　　tan(A+B)=tan(π-C) c|; 3op  
P DegSs<E  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) f,pI1OlTIc  
8=+n)cOJ?  
　　整理可得 -;1D@Q1 *y  
=}nfFs$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5`!2`$J  
=/n>. ry  
　　得证 }I1+@rO>L  
snpJ(y  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 |.RV9 A%a  
E 9I5b[  
其他非重点三角函数 v#a_aE?:  
5.p,O66QV  
　　csc(a) = 1/sin(a) pd j{`md<  
LEo^0g` ^  
　　sec(a) = 1/cos(a) ee^GuI L  
QslCqv<u+  
　　 a1HJ#h  
{a uBv*A  
双曲函数 u{aLDU#[  
N&Eq~{)7Uf  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Lw(t LUfh  
3o6`5_E  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 b[F,'g>  
4t?'nF{j  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) .n]Rf  
5`21owV#  
　　公式一： KG/S,-)  
&BNdi5hpr  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sW#h#`A`  
?llVz'.N  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /%B)b0Y&  
`2JqPaxk{  
　　cos（2kπ＋α）= cosα I>0wF%S?~  
fIq8~W&D  
　　tan（kπ＋α）= tanα hRD )5D  
BA;+KX  
　　cot（kπ＋α）= cotα -] sGYl4  
+$LW 1 r  
　　公式二： Z !^6Qu2  
4 c;D[7  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *$WN zL  
U<Hr_2\5(  
　　sin（π＋α）= -sinα V8I}R$dG  
[#kW=H5  
　　cos（π＋α）= -cosα VT-z% ^j  
efdt_+?]  
　　tan（π＋α）= tanα n~;@uo  
'=-DaZ^e  
　　cot（π＋α）= cotα N7? T  
3I ]t Fc^P  
　　公式三： q2[Mpb-?P  
pSGw0s  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： pm32\_6u@L  
aKsBK/  
　　sin（-α）= -sinα k^cKSD9E  
%UIcfSI  
　　cos（-α）= cosα Q[\_hWfVt  
*AW ;|Q?  
　　tan（-α）= -tanα .a7)tV;  
Ea6V ?  
　　cot（-α）= -cotα eK-]nj,  
'ux/|*  
　　公式四： kS;+Yds4lQ  
v N#Rja`$  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： oEUH&.+  
a3{R6v8  
　　sin（π-α）= sinα 6 g2,  
LU*AhCdLJY  
　　cos（π-α）= -cosα c@0B,I<iw  
}sQh0w  
　　tan（π-α）= -tanα 8<p["'  
I ]":!v  
　　cot（π-α）= -cotα ^ncKX ~/&  
X|3M4JkM  
　　公式五： ~e^/Bs  
- :) #\s  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Z)mCgv  
/h|:17gns  
　　sin（2π-α）= -sinα Pa vvJH  
aRso!-  
　　cos（2π-α）= cosα _hWIn_;Kfh  
_7mMi C  
　　tan（2π-α）= -tanα 8(MNT#  
Ngb4};~r  
　　cot（2π-α）= -cotα Rn}zj!0xS  
(F64.2E8  
　　公式六： legH.>C:,  
Yih;5 D(8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 0TGnCr}  
u|E}fy  
　　sin（π/2+α）= cosα /AGg`WG  
[X5jV#OQ  
　　cos（π/2+α）= -sinα t2m{)>~h?  
6[9=4 (Z  
　　tan（π/2+α）= -cotα  7\9~_  
PNF%992  
　　cot（π/2+α）= -tanα L|b7z](z  
XMD{r]^  
　　sin（π/2-α）= cosα <VBva/5K  
c iEN [  
　　cos（π/2-α）= sinα syI(0e-@"  
NQPdI6 zh  
　　tan（π/2-α）= cotα v^8c?2o.  
z, TRZz  
　　cot（π/2-α）= tanα 8oO-c%\MP  
pm":e q|  
　　sin（3π/2+α）= -cosα nY-Dv s[  
qj"Rz P  
　　cos（3π/2+α）= sinα rU@ ;`Ju  
@~h|@eC&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα {L FC{(  
iWX|Re}W;:  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4sVyQ|=eL  
;l_ZS56ge  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 2OEHXeK.  
YPg<NAW  
　　cos（3π/2-α）= -sinα e 4Y'jEsXG  
k]W !bAZ02  
　　tan（3π/2-α）= cotα 7/Q5"&d=z  
0qRTa Q!(  
　　cot（3π/2-α）= tanα (M]Ij>Yb  
!;C~t0 F  
　　(以上k∈Z) MfRSQ6;  
fdG''f}oP  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 {GHS/n\]!  
?K|VWg#T  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Uo>A}*3;M  
W(KByFXo  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } HEt$lS  
zxWMX9F  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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