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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 E1Uf dgC  
-/4+% }eul  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *5N{fE  
D :klTh65  
  1、三角函数本质: hM^M=59  
P\&{-(6xg  
  三角函数的本质来源于定义 $*=3P 2  
vZ_.zp  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 BL.$q531  
T=".ACMH  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 4)V-gAb  
mFfIt%l"-  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: D;ANv  
g]~# Bg  
  推导: OVAYp_~{=  
f7\;:s  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 rSW4vMR  
@+61'pcD  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) wy546YG !  
?B3&v  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) )lPTQ,f Y  
"~FYSMu7  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;5M`/vU  
4Ee9xbz  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) k?oGTAg  
15-\7QB  
  [1] jQ!~OB e3  
'B{TA.  
  两角和公式 XPCUE@g6  
'?S3IQV/_C  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB LuK}xY  
7-F0+K[   
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7<4nK&~K  
>O+7mF  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB '>~qV`Ie.  
V*N\W8\\  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB nn#W{ERh}  
`(!L;e}?AG  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) TM* )  
uxwU:B@  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) !)MQ8 vU  
8'i*} F  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  k:-=  
q 7v3eT  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @1,AI:^}<  
}) dA^88  
倍角公式 Q(ewTEQYUk  
Hc3q+)}x  
  Sin2A=2SinA•CosA g>cY/z)  
VHA}H  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Gm35^F l  
lweg49Og  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) jlO@ENGU  
L[c;1g0S/  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 1(H2,N D>  
_q.y"0y:-  
三倍角公式 (^!V-&*#"  
1u(#fc26O  
   kGqhQU,I  
wu)~W ]L*~  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) } &!M0  
-[94dSdd  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)  y5]&@5 J  
D*raj[$  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) MN2Dpnm  
$"y!be6^5  
三倍角公式推导 ^QOoP{RgWK  
CT68-}h!_  
  sin3a )#Pe  
+uJ6)u _  
  =sin(2a+a) =um'me^  
6BrhRnU<C  
  =sin2acosa+cos2asina 0N;4: }E  
0:u- (4  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina E%[L>3/{  
@v9n]/G  
  =3sina-4sin³a `fj=CAbD  
[g=8.9h  
  cos3a jh &<8 ,  
mhnr ^~  
  =cos(2a+a) 'rQ^ON  
nN w Q;EU  
  =cos2acosa-sin2asina AQfQ;1K^  
8w</ 1m  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa fJQc[hceaT  
z"-F <q@  
  =4cos³a-3cosa V2"#S{h  
zsZ,p4c7c/  
  sin3a=3sina-4sin³a qGT|Pl   
(?J{nav  
  =4sina(3/4-sin²a) oP1}i)R  
STRw&  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] NQ3WKnnN  
a .-D5LC;  
  =4sina(sin²60°-sin²a) 9{kz4S|2  
mVhe6Xh  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 73K iV)B  
=%G7iu  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] vuam{|{  
Ig/15OWx1  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 9Ybhg R  
.{x)CZGHHG  
  cos3a=4cos³a-3cosa N8SHr.N^F  
MAL%i W  
  =4cosa(cos²a-3/4) RYTw&_c+  
v}z[kVb  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] |Y;]^  
!u_Xy  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) FY)lZ| $  
emB-D6  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) rqIEvAZ^+  
^FFB]sD  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} r7SQ6ZvU  
Bd|.#ug  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {(jg^ S]me  
? -dUh QD}  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *AH$g >?>  
U[Bu~0Z  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] *N)x\WYj  
WXmuhEz)  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ~5M;e|  
Zwk}n\3~  
  上述两式相比可得 ez3E{r@/  
IBO{{I  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) xs9c~(rh  
xkb#g5)  
半角公式 .a&S\^  
,pkWPT}v  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); SWE?e;%5  
hJHn7)~  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ke J#wk  
xd_ZyEQBn  
和差化积 .3xkD" BL  
3 zs"s  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z _i6>)\  
D9?~ANj  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kG=5Vta  
7&=~%^44>s  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I.:]VVr .  
q:.q!  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {?$#sJ'f  
(+}Z$H  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) q@fiSKn!W  
%o)a99X  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) HpR|W0kl  
M@Ql+s{2  
积化和差 coj]Os8Ig  
R|<10'  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] GGSh TV.{u  
3le6 Y FV  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #x$ Y >hZ  
:~iGN|U  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 69R{g'S  
7lJAwAc`  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4Y$}%w#/.  
R*e"*CU  
诱导公式 xHtywMQ  
F"_rr !  
  sin(-α) = -sinα 47G & [  
])]~$Pv  
  cos(-α) = cosα /Q"j#M&  
YH9Ky  
  sin(π/2-α) = cosα 8F* m9,#b  
n4rD<e:9  
  cos(π/2-α) = sinα ! &wR[<+  
!#2T/\7l?:  
  sin(π/2+α) = cosα !PbN:ZI  
]&#us8 .  
  cos(π/2+α) = -sinα ^$G<(P<e  
Wq.r^>v  
  sin(π-α) = sinα C/ua:_#  
i9!@X[9-{  
  cos(π-α) = -cosα EV}=yR  
sE6@5I8^C  
  sin(π+α) = -sinα F8Y;!=G  
.4*j ^k  
  cos(π+α) = -cosα s0( \.!\  
P-&8TL  
  tanA= sinA/cosA z!DPqM  
P5.$!Z~  
  tan(π/2+α)=-cotα mWtzP8d-  
IZ/|Q[1hz  
  tan(π/2-α)=cotα ')0q`.TQ/  
%_-iY2$  
  tan(π-α)=-tanα I%Fkp<_'S  
^m4/d  
  tan(π+α)=tanα .W28e/F  
JYh(<y{n  
万能公式 pd?<# !  
Y;8m 0WN<  
   s%"C'^(z}  
) [Ip6BqZR  
其它公式 k3]gg*s  
U"97JcAI   
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 oMe}.  
ny3-G5nTq  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 w*z_\!5tI*  
KjIN[7vRd  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 0 ~a!g  
[y**1<fl1@  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 D&7[7 H>m  
`Q2 3^'  
  对于任意非直角三角形,总有 E*g'] D  
lALY+M1B  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l4~erX%  
* Q[ tdZ  
  证: OYkJP<;@B  
p\e` `= 1  
  A+B=π-C !:v.eT'&3  
,Faj 65{  
  tan(A+B)=tan(π-C) 2O'p9ECkP<  
y uwHmBx6  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %)~j 5T&_  
85rs~d"F  
  整理可得 pco7[<  
jEm=^  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC HM PW A7(  
?v:1miMI  
  得证 +|8'5a^  
r]*V/ ;r  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 MC %,O]<  
(do26Ml  
其他非重点三角函数 [W\7n#X,  
D{\D"2eQ  
  csc(a) = 1/sin(a) a6ba<8  
i>/`Q~  
  sec(a) = 1/cos(a) XMQ^hI{Z,  
p/\K)dP4\  
   >;@mz@  
c5(7 0rF  
双曲函数 U\AA&_(  
ic$DC@G ,  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 H0%QgR f-  
v~B$8 9bz  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Ie3NV2GR  
6*<% ]@r  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) L}^2h(O #k  
4@^BD  
  公式一: E< d'] B8  
`,]RzRTm  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: *ps6Yh  
Q?{l6;O  
  sin(2kπ+α)= sinα 0}f5@  
+Kdnp`]*}+  
  cos(2kπ+α)= cosα zpSQTOt  
8V h]tEv2^  
  tan(kπ+α)= tanα fX{Y V9~\  
$:WS(e*2  
  cot(kπ+α)= cotα #~dul2RD!  
s@:qLIh  
  公式二: JFn| :c:  
4+J@k+lD  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:  vfUqB  
3%I~UWs4  
  sin(π+α)= -sinα dJqTS3Wm?  
r^'(*iQI  
  cos(π+α)= -cosα "w5 cDuS  
R [#^`U\  
  tan(π+α)= tanα .PB_w5  
5f/rHd!@>  
  cot(π+α)= cotα H'CU )  
U/ IgrM*  
  公式三: P2hYN=  
TB$i1+XP  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 1>AGeorw  
}Y!fpJPJf  
  sin(-α)= -sinα rU7ZcDf9M(  
LqR+1M!v  
  cos(-α)= cosα sC)< Y1gQh  
n~u5J  
  tan(-α)= -tanα <@E|v;UyY\  
QyO IH@  
  cot(-α)= -cotα nFAsA6"j  
2yDliXr  
  公式四: 9 H]@p:X  
\}fgg'wU  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: '0_]Ym  
"NELXmN6  
  sin(π-α)= sinα F$v~RF G:  
`{lZdx<  
  cos(π-α)= -cosα v+CC2M jC  
>5!s+/!++\  
  tan(π-α)= -tanα *O"0 wii[  
Kb:Tn#)OF  
  cot(π-α)= -cotα z[\l8; 3  
b|R@!2:xKN  
  公式五: W~>9^   
 MA;7  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: wwf2uMD/|Q  
DJ),@rB  
  sin(2π-α)= -sinα A#0(4my  
Jr (--a  
  cos(2π-α)= cosα f$My'H'eZ  
D,X|29o  
  tan(2π-α)= -tanα 13lV^~id  
bDYu-xXo  
  cot(2π-α)= -cotα _urwKLpj  
/dj 2N  
  公式六: A! ({I(TK  
5?IWm;l  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: \O~8;>0  
IY@y"A  
  sin(π/2+α)= cosα j.*I3  
h%4Y }<>0  
  cos(π/2+α)= -sinα },b| Z70  
&JfoT5  
  tan(π/2+α)= -cotα MPr1/D  
y+i*"75@  
  cot(π/2+α)= -tanα OaAd[\  
!H.:AR   
  sin(π/2-α)= cosα b WJAP7]C  
%nN ;V  
  cos(π/2-α)= sinα Ti!ieEL<  
)G$8g3V.]  
  tan(π/2-α)= cotα d)SeTU'p  
.:zR(`z<  
  cot(π/2-α)= tanα ( D<sMXyc  
=__=f_  
  sin(3π/2+α)= -cosα K,=qGc\{5  
Ln`lGyn]  
  cos(3π/2+α)= sinα dvZc6 '  
$J?Ar"-  
  tan(3π/2+α)= -cotα EIQU/  
6HZi" ?&  
  cot(3π/2+α)= -tanα \;~8/  
eLu6%fP  
  sin(3π/2-α)= -cosα C+GC-\q"U  
V rv]#  
  cos(3π/2-α)= -sinα ~<:ZiRZW  
.&>Zy4$:  
  tan(3π/2-α)= cotα ( <dd  
hCfC\x ;  
  cot(3π/2-α)= tanα "DB*Hrw  
J*v094O  
  (以上k∈Z) S#Zv;!mH  
8=edmFF  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 kn1pnI9e${  
us { yCv  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = !:wK2d*bp  
|"s3j#MB  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 2^ LbPWFN  
,X|-y_<[P  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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