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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 Jy 0suN  
;3,f\4 A=  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Nm`![M$F  
<:XpJe a  
  1、三角函数本质: zc9s  
_)4ra<C  
  三角函数的本质来源于定义 u`@UO6  
;qD11  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )]m2<h:X  
9.tl% -[_  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 V/]c,kd  
7NW69K|{  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: otny!i]{yl  
FZA_$8_s  
  推导: WQemuu?  
2 o-$} D  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 )mJr2v'  
IKfuM_wA  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) lN1S+  
kuYij4sAw  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Iy-uZs /5  
WPLW6_&  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 >)Pc.~  
&]o(Vl0=B  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) M(d1;.B  
N`v9d"OL  
  [1] 5I'(M62l  
G2g4zV/W  
  两角和公式 s!WVp-$  
x*d%!?k#  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1OzC=|u)  
4Ne:'*/  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ;Ho _cZmG  
$$+);_z  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB n?@RG{=[S  
@=o{u#A%;#  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 1N$vQzcJM%  
ne)Nue9Y  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) g;PkT`  
>e1F*1  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ORO XMm  
7<"y_  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  q<2cW+? _  
T#XZJi5  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Z*!f8nQ w  
H )1Rt")(  
倍角公式 +#_R$"  
!fd WR-^zp  
  Sin2A=2SinA•CosA E 6r\Ai  
HumW0q  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 AznALS ~;  
SYA#;y  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ^Ur}-p4/  
} /_R  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) $! bD' r  
406p5)m  
三倍角公式 q_:L+bqfT{  
lbQoCJd2  
   y]N4[S  
w My`&\B  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) )4E:S  
`UU}HP$3  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) &k4\C=  
c{>bO6o  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) oN=2K_P7|*  
e"^YIMrJ:  
三倍角公式推导 Nb|}aDv`  
4<H Hp{_  
  sin3a ~L9p7Uhd  
L!wa2&y  
  =sin(2a+a)  Xgvhwle  
{_SEA&n  
  =sin2acosa+cos2asina '*|/>0  
n &|;ey x  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina >NET7  
$" s   
  =3sina-4sin³a dU\N GXi  
VhyfV4  
  cos3a 6PM${=UY)  
Ut./X  
  =cos(2a+a) y+\s?e5:  
G-3_A":r  
  =cos2acosa-sin2asina 4l]:a*.|  
2_<%)eg  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa dzfuF9J?  
2 ./n9<^B  
  =4cos³a-3cosa *M]T\7   
3 `uaNF  
  sin3a=3sina-4sin³a ) e^s!  
A/\nO/$Jz  
  =4sina(3/4-sin²a) 2K|bT8E  
2>&mCHPT  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 8aulwHXE  
}$KQZ|nbu  
  =4sina(sin²60°-sin²a) .:1WB2\F  
_JnxzKqWx  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) my*6k   
s]] 4  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /(tcYQ  
$idT*v=h  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 9W qs  
V1|( H]S  
  cos3a=4cos³a-3cosa Kd3{^q1z  
m_UF8U  
  =4cosa(cos²a-3/4) LY6o k,F  
P>4?lF#(TZ  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] d$*[^}W8  
nitnm  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) |]a0il  
{ BK  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) a` BpIO8  
)63E=y[;  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} loco)9KIB  
bJ El HWYF  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {r+YBy\<c  
EI= ZWo=+  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `*b7xss}\  
u1Vy`^i  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3wIq&[  
1 J>pcw  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 7a5tEuc9,  
|ib:T&[  
  上述两式相比可得 Oq?&<*  
Y"GZ'H'_^p  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) @t&8uKNSO  
oAwh6Y":H  
半角公式 "?qy]`T\\  
U8<"M'  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); j\z^R  
8=9i$'X|  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 9wbKYR   
mb ln"O  
和差化积 IPc/- WG  
{,IONm0K9  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l< VuGH8K  
a$tIw"xuy  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {rY:<L!  
/4 sz>  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qg_-taNr  
%Y917toA  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mOC_gVEm  
iOec)^-|w  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^Zj"%q?1s0  
^azGuHn%  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) .X&e u|   
>m5h6LF\k  
积化和差 <o9tg y6  
kB/h:@db&  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] dSR=-bH+Y  
"U*" lV~3  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 0OVHw.[|j  
Z`OI; (T  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ^4>`"o%^C  
R<D(   
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \DVAZL"i0W  
r3q2O`'  
诱导公式 ?Zh)z<~_=  
~A =b^q^  
  sin(-α) = -sinα U xIfY  
J')i7{I61%  
  cos(-α) = cosα P ]_T/Iz  
LgIEurlxb  
  sin(π/2-α) = cosα 9qp#Dp+IJu  
"%}eJ`b  
  cos(π/2-α) = sinα h7ii|0:Y9  
-sj B#  
  sin(π/2+α) = cosα hm` |Y_R7s  
Tb`*tnCo  
  cos(π/2+α) = -sinα 4GB48R*ec  
, ]pqd-  
  sin(π-α) = sinα s8T/*Gr  
|^SqL2EWP  
  cos(π-α) = -cosα ;0b \!@  
buWv&y9/A  
  sin(π+α) = -sinα yWxwM t  
ox[.{mE/  
  cos(π+α) = -cosα lCO]n_PN  
QKHJmTBDg  
  tanA= sinA/cosA | .4X4n  
V0 tmAQT4  
  tan(π/2+α)=-cotα ?.t,B]1Z  
%l)_ s%  
  tan(π/2-α)=cotα L+J\ z_  
u0:a2}aS  
  tan(π-α)=-tanα zD4j&9>XzI  
XO=#~8  
  tan(π+α)=tanα sop[tti  
@f_~vRJ4  
万能公式 6Z]8UfY  
$9mvV.\Hl  
   ?pdaWCyh  
.UdK]-Y@'  
其它公式 09z"_s:  
7i}5OZ  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 0!\R!NV  
+HLa=DO  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 8Q/[x>= 5  
P+8l9mv  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 -\CX)+Zr  
-jj!F` M  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {@Q`B   
31<(a| ]  
  对于任意非直角三角形,总有 v3MCd5fYO  
DU <K\  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC rs-u 3C(  
"NY?}$7L  
  证: ;D47 p+~jX  
V`)$xbll  
  A+B=π-C 00&6l>  
6=y@|m~ y  
  tan(A+B)=tan(π-C) |_^}Yqy  
]< {GH  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Wz!  @tK  
o@\<CxQ>  
  整理可得 N]Z a{EYg  
A%/+ Z'`  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w<CM  
8xh>MSI  
  得证 :_eGF.>g?  
Mi}K)\>++  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =mLF 6By  
dShP"ar{  
其他非重点三角函数 }=S-P]yb/  
qH|MnM`e\  
  csc(a) = 1/sin(a) {l9Vh&`8?  
/|:.6*> @  
  sec(a) = 1/cos(a) 8I{hW7L<n  
d,!w(<t  
   H{6?xH:  
FXCWFqtI  
双曲函数 } ]TWm ={L  
!? G/jBL  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Y4"qE,n  
2_)L@  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 (Ac+]  
"6~$p  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) O%zg"68aW  
5@J~d y  
  公式一: bO`wp#  
yD;]z lYi)  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: /\! _fn1  
/Z5xMNu1a  
  sin(2kπ+α)= sinα x=s>kSD+  
iHQL{,O  
  cos(2kπ+α)= cosα sZ;Q?6  
O<ctctc  
  tan(kπ+α)= tanα zpRH/QA  
4.yPFhEj  
  cot(kπ+α)= cotα f#8e }Y  
~@8?9Q  
  公式二: $ur 2+  
(lK[IqTt  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: fy)USka  
:bx;kFUU  
  sin(π+α)= -sinα $e0X"M1"g  
V.DF<; `  
  cos(π+α)= -cosα *4G,=x,O  
I9`*ZOk,  
  tan(π+α)= tanα   ;<Dtf  
O^VI;4])  
  cot(π+α)= cotα s!3Ux+*(J  
~,j_EV8  
  公式三: b)![N[)M}_  
|N".Z;yC%C  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ,jV#mNtDT  
*f\v5P'  
  sin(-α)= -sinα fY\45F}  
?E]T#B  
  cos(-α)= cosα ~\J[L  
qxEDd5G/  
  tan(-α)= -tanα -y?9sQPiFN  
{45jRgaQ  
  cot(-α)= -cotα `\@*s).bX  
TKBdfaC  
  公式四: TRtA CQ/  
G6r&tfyi!!  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: s Jf.-H!  
#;qq K  
  sin(π-α)= sinα W5Um#e!  
0Hb=5/S=  
  cos(π-α)= -cosα P63d'#c %  
T^S[,j6o&  
  tan(π-α)= -tanα :1/B@Ff  
 *Q<c|GHw  
  cot(π-α)= -cotα =i~'x[t  
')\qQornx^  
  公式五: 0i\ }\2b  
5Vk@@5d|a  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 19C .khIO  
M kh}D  
  sin(2π-α)= -sinα +H@Z>tCsT  
XP'+93[D  
  cos(2π-α)= cosα 5W,"GD^]M  
5gE&tJz@  
  tan(2π-α)= -tanα k"*Od Qj[  
Q>X,\Vx}W>  
  cot(2π-α)= -cotα oI~2-^K  
)3bdFc]q  
  公式六: .W)cPI9  
iYE_ri L`  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: .7V1)[LM  
tR5nEcnA@  
  sin(π/2+α)= cosα jU& IFv"  
|:=TB  
  cos(π/2+α)= -sinα Ss#_P>C-  
s ~ira[  
  tan(π/2+α)= -cotα <o[, <@J  
N'Yff   
  cot(π/2+α)= -tanα $_,\>| !cg  
'ue$eTt{  
  sin(π/2-α)= cosα 5N5id v  
?[~8!N/a  
  cos(π/2-α)= sinα C=FTOV.W!  
J0Kw" ,np^  
  tan(π/2-α)= cotα s<l1Kp/<  
<=_=K/.n  
  cot(π/2-α)= tanα lYv@)U67  
yvHl%   
  sin(3π/2+α)= -cosα QPNk#i&O  
< ?c{B:1  
  cos(3π/2+α)= sinα 1p{m#HVbR-  
h1qh1sg  
  tan(3π/2+α)= -cotα <)Xiy=q%  
r61-6"C  
  cot(3π/2+α)= -tanα ].Wj\ez  
9($'JmR*%  
  sin(3π/2-α)= -cosα :|Sw:O=  
N\ l2.V.  
  cos(3π/2-α)= -sinα a"?E/QR  
}koe(pbT)  
  tan(3π/2-α)= cotα L' + gV&dh  
p7c<)  
  cot(3π/2-α)= tanα o265EF4 k  
V5%@(0#&  
  (以上k∈Z) 6/z0B"_W  
s;2Z=b4CV6  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Es(wQj}  
XP&u%^8o  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *Q`L_Yk,?  
zQC[|nh  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } FYBaO  
7u&22!ut\`  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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