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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Rid EAR2  
y` "!R  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. biB3Tq  
~zUq t7]  
　　1、三角函数本质： 2 st8SwY  
"c0 L;x  
　　三角函数的本质来源于定义 v@SY`7K  
r6# PD6yX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )Q2/Q_S|  
2:\'pv;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 =K j3u!hc  
yrHAh d/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： E+K$W  
6ZBlS )ON  
　　推导： Q(qT5V^W$G  
DnN^KV  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 h3,i-Z  
,H1]Yd  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) g !A'ow2  
'<a6,W|  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gu `S=4l  
> `/E$2  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1~#{@{'k  
2*Tjd\fOi  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） yQ3 >{  
HQtLfN)E  
　　[1] 5'\VwR K  
%1~&@)l|W  
　　两角和公式 auYt:Th  
-"km [w`8&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB JQ)yw R{  
0S+ M7  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  (lv 6Ia  
^l7;Z$ \  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Fl9JIP  
yIS9~~kSB  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a ViX7RD  
4=|T^"9rX  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1$\\X4  
(!bca:  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Js  _  
;p ^s?TS  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <y?0a@  
7\Vx  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  G=d`t7+  
-:8ZJ  
倍角公式 "%>n99sTkP  
=xf}~)`p  
　　Sin2A=2SinA•CosA ?)d52"36  
`8P3LB,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 XQq12+N  
H9yQ"PZ l  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {/4Q GA4   
4w8 64%]S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） FYDT1 P5  
=Z?%J^6e  
三倍角公式 5iCir  
~x[zKX%  
　　 +)8 BO/  
{osN;/  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) KhC'{e}  
mLF&aw^0  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 79((9{%&W  
C`Yp  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *CXZ<-)  
!eTSo  
三倍角公式推导 nLA$B^X  
A"pSa xvU  
　　sin3a /13y(!\i&Q  
P XS5v  
　　=sin(2a+a) 5Y.jK8i_"  
H<Pqo$:O  
　　=sin2acosa+cos2asina 5y{5aCy  
I(4 aH  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 3f|GI,?\  
,){ ^VSf  
　　=3sina-4sin³a %Ja _V7w+  
| }q:z 4V  
　　cos3a MZ%;:mP;  
HPM.f4q `  
　　=cos(2a+a) X9$CclRR  
2F) n wy  
　　=cos2acosa-sin2asina C 5*C(vB/  
`q;JnL&D}  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D|HW4=O  
Vbg0XZ}  
　　=4cos³a-3cosa 0":IWg '  
v_yemU :  
　　sin3a=3sina-4sin³a c!w+ Hk  
NoS~X{<z  
　　=4sina(3/4-sin²a) L h^r?  
$*/.4.b  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] yF-="c  
M5O~$[BO%  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) )FAAO[yW~  
4e\Z5`;y#  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D f%-^  
J8*"Og$A  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !Wo *9W  
yl.@];sg1  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) >l,>1:}@-R  
cT>@\p/|  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 92A0WBR4  
^CLFK3n[9i  
　　=4cosa(cos²a-3/4) w1DhQ   
-sq|5+7|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Xy3?.rbO  
1K%Td4zgt  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 71azg(?r@  
H3:H3_~  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) L .N22by  
a`Z([on  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} (`q\] +  
tByIR  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) NV6 ;Yvl  
y*~I+$  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] B>(/!aU.N2  
^'#[+<8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ZDK$^I  
m lrx=5s2'  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) A6RPP=3{)  
[&z:( -5.U  
　　上述两式相比可得 HaQ?@.Z7T  
s ~m F>Z  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Y5p%s!XK  
$%sBO-Z  
半角公式 A+:r%8D+%  
u< r{:hM'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); e4e),B`T  
7ZAN\ &@4  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ?sTybUi\Y  
yh.k.}|A z  
和差化积 N$Rcwij{=  
Br@>E'^z  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ""Z%~=  
]h/nQ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `LoLJHImQ  
Lj0_*.  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p6_ Ung9  
Q>Tb(Ffqj  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @!c(M^"Rsj  
2?*   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ! lcFX8}]5  
@NC< 0L  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) G6,8NI ^  
M@Q&Mbp,Rj  
积化和差 Vi%GxBbV>  
.|^~l N  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] P)YK>l>dr9  
P)42=)MU  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] MYB?0m  
[jv6hx  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] gxn|1'D)  
#A? 9G`.2  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] '<,xeu8C  
tSO3P@e  
诱导公式 #J]X[5w;X  
Ryr _>nZWo  
　　sin(-α) = -sinα (`1IfGk  
MltFC  
　　cos(-α) = cosα zJ5rqj$C  
~Vb!:?2_  
　　sin(π/2-α) = cosα Cse,i  
_u :b|{C  
　　cos(π/2-α) = sinα ,^M&O,:SI  
G%r|s=~C-  
　　sin(π/2+α) = cosα {X~y<w43;  
tuniqX  
　　cos(π/2+α) = -sinα C5 {"TJV  
%nZu*Wf;  
　　sin(π-α) = sinα .|9~og~0s  
>[n}Nq  
　　cos(π-α) = -cosα lp=j.+  
OyLgT#CA  
　　sin(π+α) = -sinα a<' '[0Ze_  
!nfswEDd  
　　cos(π+α) = -cosα -c4tcr]dN  
|P -9g3  
　　tanA= sinA/cosA i3 ,3eN1D  
y) TBLJ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα  v=-x)Q  
pE]*H^  
　　tan（π/2－α）＝cotα /\3(^  
R'7,ql7`T  
　　tan（π－α）＝－tanα v5WN?< _  
_/^Dr)  
　　tan（π＋α）＝tanα P*KHZ j'q  
#-*HwZ F{?  
万能公式 Va-$?6|  
$>'2|^G"Bh  
　　 t^PMiPT  
xtM2D[m;  
其它公式 TkW;#m{([g  
k\2uJ_}\D@  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /l).w-(U  
!pz~CWFQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 { #^kt 0  
K{ew0x_+Q  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 \+ 8,#.  
\Ps|H{$;  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 =[E!#~n  
r>3\dZLK  
　　对于任意非直角三角形,总有 +J\w1P81  
a10xiT  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1piam  
tmCn*\Dkl0  
　　证: Mj~N`3&b  
R1c pd  
　　A+B=π-C 7RDC/n1@d  
p:FkT  
　　tan(A+B)=tan(π-C) -OF|PE)  
zCb~gv3,  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) c8Nk%  
GF]dr}@  
　　整理可得 f,\ bI)7  
;CS[X %<[  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ajm @n}t  
64?vy $e<  
　　得证 '+Y<FZ?  
)J>L c-`  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 eX4Wo`]4X  
wuqAHu^   
其他非重点三角函数 #LS)[u6  
~[wzjj a  
　　csc(a) = 1/sin(a) @3so-D>Y  
8b^[C9lA6  
　　sec(a) = 1/cos(a) FDMGCw*  
_:BN4lO*C  
　　 lhw2j|PJ  
\2{=,WQg  
双曲函数 t%W"x/x  
^Q`17uPiW  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 'A`4|Mh  
Ea@5PNJ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 dtajsLT  
Lk9Xq+hL=  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^L4^=$s2m  
d}, Tr%  
　　公式一： iG n{|X  
I@n pP  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： QE;f'jGBVM  
sNh4*  
　　sin（2kπ＋α）= sinα :;Y!*FF  
GdinK@V x  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Wwc"DVe  
G S=k%f~w  
　　tan（kπ＋α）= tanα 1BOOAp=t  
` 3(J[f  
　　cot（kπ＋α）= cotα vzt*w_W6  
WgbRK 69  
　　公式二： z~z1$!A +o  
^ u 2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： FVVs2~QL  
e]Pqg BFe6  
　　sin（π＋α）= -sinα 4 -8 8O6>  
wB NxeO/  
　　cos（π＋α）= -cosα ~>B5]J#6  
tlA!z_N\B  
　　tan（π＋α）= tanα yZlb @|  
g\%!c  
　　cot（π＋α）= cotα $7_\|-chQ  
>5ceyC< Y  
　　公式三： B( \2<ah%!  
rgZHr#w_;2  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： jQ~*Wi1O  
MmM(g`Uj5  
　　sin（-α）= -sinα PFTX2)S  
f~MA581  
　　cos（-α）= cosα joZFnp_*  
5NL~'!t  
　　tan（-α）= -tanα nkVc<=Vo  
&kg;*}  
　　cot（-α）= -cotα q[HhpV  
;|I}~?=a.  
　　公式四： `Z:fjbQUB  
Q1@ xa;P\  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ZSn-Y{$j  
UpU:"#O3  
　　sin（π-α）= sinα eF 1x Lp^0  
6my3zR  
　　cos（π-α）= -cosα c0c(:8g`  
;#3J2n t0  
　　tan（π-α）= -tanα ]Bj]wq"{@h  
dT_U`(B  
　　cot（π-α）= -cotα i2U gY&+  
wPF)r   
　　公式五： pZcx51nI  
UHK-*7X8&<  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： WZqbSdB  
J*?;N3"  
　　sin（2π-α）= -sinα hbDAezGx  
Mgx8]  
　　cos（2π-α）= cosα ^`U&df]2  
N!++5{2Am  
　　tan（2π-α）= -tanα +!5t95U  
"OB hD~ea  
　　cot（2π-α）= -cotα CXL\Sc  
sV WS*$VT*  
　　公式六： sj6xq3O*{  
1x=<+Og`d  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2.UN:;^  
GVfM/j*l  
　　sin（π/2+α）= cosα `\rH4_@qZ  
>O&JaJ=<r  
　　cos（π/2+α）= -sinα  E/Nc9O(  
"o8?RoE;\  
　　tan（π/2+α）= -cotα @ *P$3 b  
E:2# kg=^  
　　cot（π/2+α）= -tanα % DAy(Y  
Txs0dZ[  
　　sin（π/2-α）= cosα IAl|JI?D  
kI_\+5l.   
　　cos（π/2-α）= sinα *]Pq%!2bG  
2Ke%ho5Dn  
　　tan（π/2-α）= cotα |^rH@aC"  
Uq+A}Qd96  
　　cot（π/2-α）= tanα ?"~lv]NGSc  
UcXk_TB  
　　sin（3π/2+α）= -cosα is`c(i   
FM[ZUe4d  
　　cos（3π/2+α）= sinα PiU2-P  
RbyHv  
　　tan（3π/2+α）= -cotα +bGE,jR&  
mR cQ1^B  
　　cot（3π/2+α）= -tanα f?Lw~+"62  
%9;K]Sr-\  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 1g h?CH  
Dut"D<2d  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  ;`Xdf;  
|&K ,3s[<  
　　tan（3π/2-α）= cotα w' i?g  
>G95B:/x  
　　cot（3π/2-α）= tanα +z#&8 3i  
h#9;c%ox  
　　(以上k∈Z) B?Fe);  
.4^mCj  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 (.P>YG  
PG$B~k  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = i1Bc*g  
mx6!G~qZ d  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $-(z=SyJ  
S0@.A&gI#  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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